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二维灰度阵列受如下能被识别和利用的三种主要数据冗余影响：
- 编码冗余 (coding redundancy)：
用于表示灰度的 8 比特编码所包含的比特数比表示灰度所需要的比特数多。 - 空间和时间冗余 (interpixel redundancy)：
空间相关，每个像素类似于相邻像素或取决于相邻像素；
时间相关，类似于或取决于相邻帧中像素。 - 无关信息 (psychovisual redundancy)：
被人类视觉系统忽略或与期望用途无关的信息。
去冗余的办法：
- Decorrelation + entropy coding
Decorrelation:- Prediction
- Transformation
- Others entropy coding:
- Haffman coding
- Arithmetic coding
- Context_based model + coding
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令 \(b\) 和 \(b'\) 是相同信息的两个表示中的比特数（或信息携带单元），则 \(b\) 比特表示的相对数据冗余为：
\[ R = 1 - \dfrac{1}{C} \]
其中 \(C\) 为压缩率，定义为：
\[ C = \dfrac{b}{b'} \]
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| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(f(x,y)\) | 输入图片 |
| \(\hat{f}(x,y)\) | 解压后图片 |
| \(e(x,y) = \hat{f}(x,y) - f(x,y)\) | 误差函数 |
总误差：
\[ \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} e(x,y) \]
根均方误差：
\[ e_{rms} = \sqrt{\dfrac{1}{MN} \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} e^2(x,y)} \]
均方信噪比：
\[ SNR_{ms} = 10 \lg \left[\dfrac{\sum\limits_{x=0}^{M-1} \sum\limits_{y=0}^{N-1} \hat{f^2}(x,y)}{\sum\limits_{x=0}^{M-1} \sum\limits_{y=0}^{N-1} e^2(x,y)}\right] \]
信噪比：
\[ SNR = 10\lg \left\{\dfrac{\sum\limits_{x=0}^{M-1} \sum\limits_{y=0}^{N-1} [\hat{f}(x,y) - \bar{f}(x,y)]}{\sum\limits_{x=0}^{M-1} \sum\limits_{y=0}^{N-1} e^2(x,y)}\right\} \]
峰值信噪比：
\[ PSNR = 10 \lg \dfrac{f_{\max}^2}{e^2_{rms}} \]
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信源所有可能发送的信号集合为 \(\{a_1, a_2,
\cdots,a_J\}\)。
则信源的熵为：
\[ H = -\sum_{j=1}^J P(a_j) \log P(a_j) \]
灰度信源的熵：
\[ \tilde{H} = -\sum_{k=0}^{L-1} p_r(r_k) \log_2 p_r (r_k) \]
香农第一定理：
\[ H(X) \leq L_{avg} \]
其中 \(L_{avg} = \sum\limits_{k=0}^{L-1} l(r_k)p_r(r_k)\) 表示每个像素所需的平均比特数。
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- 对所考虑符号的概率进行排序，创建一系列简化信源。
- 将概率最低的符号合并为一个符号，并在下一次信源化简中替代那些概率最低的符号。
- 重复这一过程直到只剩两个简化信源符号为止。
- 从概率最小的信源开始，对每个化简后的信源进行编码，直到返回原信源。
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算术编码为整个信源符号（或消息）序列分配一个算数码字，这个码字本身定义了一个介于 0 和 1 之间的实数区间。
编码过程：
将区间 \([0,1)\) 根据出现概率分配给每个信源符号。
信源符号 概率 初始区间 \(a_1\) 0.2 [0.0, 0.2) \(a_2\) 0.2 [0.2, 0.4) \(a_3\) 0.4 [0.4, 0.8) \(a_4\) 0.2 [0.8, 1.0) 从信息中的第一个出现的符号开始缩窄消息区间。
最终子区间 \([0.06752, 0.0688)\) 内的任何数字（如 0.068）都可以用来表示该消息。
解码过程：
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通过消除紧邻像素的（空间、时间）冗余来实现，即只提取每个像素中的新信息并对新信息进行编码。
一个像素的新信息定义为该像素实际值与预测值的差。
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在大多数情况下，预测是由前 m 个样本的线性组合生成的：
\[ \hat{f} (x,y) = round \left[\sum_{i=1}^m \alpha_i f(n-i)\right] \]
其中 \(m\) 为线性预测器的阶数，\(round\) 表示四舍五入或取最接近整数。
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差分脉冲编码调制 (DPCM)：
最优准则是最小均方预测误差，假设量化误差可以忽略 \([\dot{e}(n) \approx e(n)]\)。
均方预测误差：
\[ E \left\{e^2(n)\right\} = E \left\{\left[f(n) - \sum_{i=1}^m \alpha_i f(n-i)\right]^2\right\} \]
随着预测器阶数的增加，可觉察的误差明显减小。
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一个典型的量化函数：
量化器的设计问题是，为某个特殊的最优准则和输入概率密度函数 \(p(s)\) 选择最好的 \(s_i\) 和 \(t_i\)。
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| 符号 | 含义 |
|---|---|
| \(g(x,y)\) | 输入子图像 |
| \(T(u,v)\) | 该子图像的二维变换 |
| \(G\) | 输入子图像像素的矩阵 |
把图像分成大小相等且不重叠的多个小块，使用一个可逆线性变换（如傅里叶便函）把每个小块或子图像映射为一组变换系数，然后对这些变换系数进行量化和编码。
编码器依次执行：
- 子图像分解
将大小为 \(M\times N\) 的输入图像细分为大小为 \(n\times n\) 的多幅子图像。 - 变换
变换子图像，生成 \(\frac{MN}{n^2}\) 个子图像变换阵列；
对每幅子图像中的像素进行去相关运算，或用最少的变换系数尽可能多地包含信息。 - 量化
选择性地删除或更粗略地量化携带最少信息的系数。 - 编码
对量化后的系数编码，通常采用变长码。
解码器执行的步骤与编码器相反。
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子图像可表示为其二维变换的函数：
\[ G = \sum_{u=0}^{n-1} \sum_{v=0}^{n-1} T(u,v) S_{uv} \]
- 信息打包能力：KLT > DCT > DFT > WHT
- 计算复杂性：WHT < DCT < DFT < KLT
因此，多数变换编码系统都是基于 DCT 的。
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一般来说，压缩水平和计算复杂性会随子图像尺寸的增大而增大。
最常用的子图像尺寸为 \(8\times 8,\ 16 \times
16\)。
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根据一定的方式选择保留的系数：
- 根据最大方差进行选择，称为区域编码；
- 根据最大幅度进行选择，称为阈值编码。
截断、量化和编码变换后子图像系数的整个过程称为比特分配。
定义一个变换系数模板函数：
\[ \chi(u,v) = \begin{cases} 0,\ T(u,v) 满足一个规定的截断准则 \\ 1,\ 其他 \\ \end{cases} \]
可以得到 \(G\) 的一个近似：
\[ \hat{G} = \sum_{u=0}^{n-1} \sum_{v=0}^{n-1} \chi(u,v) T(u,v) S_{uv} \]
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最大方差的变换系数携带了大部分图像信息。方差可直接根据子图像阵列算出，也可以根据一个假设的图像模型算出。
构建区域模板：在最大方差位置置 1，其他位置置
0。
分布取样处理可视为每个 \(T(u,v)\)
乘以区域模板中的对应元素。
区域模板有时被视为对每个系数进行编码的比特数。为每个系数设计一个量化器，分配给每个量化器的量化级数（比特数）与系数方差的对数成正比。
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子图像不同，最大系数的位置也不同，需要对 \(\chi(u,v) T(u,v)\) 的元素重新排序。
通常按照如下 Z 字型排列：
对变换后的子图像进行阈值处理的方法有三种：
对所有子图像使用一个全局阈值，对不同的图像压缩水平不同。
对每幅子图像使用不同的阈值，码率为常数且事先知道。
阈值随子图像内每个系数位置的变化而变化，码率是变化的，优点是可以组合阈值处理和量化。
采用下式代替 \(\chi(u,v) T(u,v)\)：\[ \hat{T}(u,v) = round \left[\dfrac{T(u,v)}{Z(u,v)}\right] \]
其中 \(Z(u,v)\) 是标准化矩阵的一个元素。
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一种有损基线编码系统，以 DCT 为基础，适用于大多数压缩应用。
编码过程：
解码过程：
